Математикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 9 сынып

а) Кез келген тізбектес 79 натурал санның ішінен цифрларының қосындысы 13-ке бөлінетін сан табылатынын дәлелде. б) Әркайсысының цифрларыньщ қосындысы 13-ке бөлінбейтін тізбектес 78 натурал санды тап.

Комментарий/решение

a) Если разделить числа по $100$ последовательных чисел и в каждой сотне выделить по $10$ чисел, то сумма цифр в каждой десятки будет давать возрастающую сумму $x$ до $x+9$ для одно десятки, $x+1$ до $x+10$ для второй последующей десятки и.т.д до $[x+9, x+18]$ , покажем что среди любых $80$ последовательных чисел, найдется одно которое делиться на $13$ это связано с тем что среди чисел $[x, x+16]$ (следует из вышеописанного) всегда найдется найдется число которое делится на $13$.

б) к примеру $9999999961-10000000038$