Математикадан республикалық олимпиада, 1998-1999 оқу жылы, 9 сынып

Кез келген теріс емес нақты $a$ және $b$ сандары үшін $\dfrac{a+\sqrt[3]{{{a}^{2}}b}+\sqrt[3]{a{{b}^{2}}}+b}{4}\le \dfrac{a+\sqrt{ab}+b}{3}$ теңсіздігінің орындалатынын дәлелде.

Комментарий/решение

$3a+3\sqrt[3]{a^2b}+3\sqrt[3]{ab^2}+3b\leq 4a+4\sqrt{ab}+4b$

$a+b+4\sqrt{ab}\geq 3\sqrt[3]{a^2b}+3\sqrt[3]{ab^2}$

$(a+\sqrt{ab}+\sqrt{ab})+(b+\sqrt{ab}+\sqrt{ab})\geq 3(\sqrt[3]{\sqrt{a^2*a*b*a*b}}+\sqrt[3]{\sqrt{b^2*a*b*a*b}})=3(\sqrt[3]{\sqrt{a^4*b^2}}+\sqrt[3]{\sqrt{b^4*a^2}})=3\sqrt[3]{a^2b}+3\sqrt[3]{ab^2}$