Республиканская олимпиада по математике, 1999 год, 9 класс
Для любых положительных $a$ и $b$ докажите неравенство:
$
\dfrac{a+\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}+b}{4} \leq \dfrac{a+\sqrt{ab}+b}{3}.
$
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
$3a+3\sqrt[3]{a^2b}+3\sqrt[3]{ab^2}+3b\leq 4a+4\sqrt{ab}+4b$
$a+b+4\sqrt{ab}\geq 3\sqrt[3]{a^2b}+3\sqrt[3]{ab^2}$
$(a+\sqrt{ab}+\sqrt{ab})+(b+\sqrt{ab}+\sqrt{ab})\geq 3(\sqrt[3]{\sqrt{a^2*a*b*a*b}}+\sqrt[3]{\sqrt{b^2*a*b*a*b}})=3(\sqrt[3]{\sqrt{a^4*b^2}}+\sqrt[3]{\sqrt{b^4*a^2}})=3\sqrt[3]{a^2b}+3\sqrt[3]{ab^2}$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.