Областная олимпиада по математике, 2014 год, 10 класс

Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что если к десятичной записи числа $m$ приписать справа десятичную запись числа $n$, то получится десятичная запись числа ${{\left( m+n \right)}^{2}}$. Докажите, что если $n$ делится на $m$, то $\dfrac{n}{m}=6$.

Комментарий/решение

Пусть $n=m \cdot s$, и $10^{k+1}> m \cdot s \geq 10^{k}$, тогда $(m+m\cdot s)^{2}=10^{k+1}\cdot m+n$ или $m\cdot (s+1)^{2}-s=10^{k+1}\Leftrightarrow m\cdot s^{2}+2\cdot m\cdot s+m-s=10^{k+1}$. Заметим, что $m\cdot s^{2}+2\cdot m\cdot s+m-s>s^{2}\cdot m\geq 10^{k}\cdot s$, стало быть $s<10$, а также если s нечетное, то $m\cdot s^{2}+2\cdot m\cdot s+m-s$ - нечетное, но $10^{k+1}$ - четное. Значит $s$ - четное. Осталось перебирать случаи $s=2, 4, 6, 8$. Если $s=2$, то $9\cdot m-2=10^{k+1}$, что очевидно невозможно $(mod9)$. Если $s=4$, то $25\cdot m-4=10^{k+1}$, что невозможно по модулю $25$. Если же $s=8$, то $81\cdot m-8=10^{k+1}$, что снова невозможно по модулю $81$(легко убедиться, заметив, что $10^{9} \equiv 1 \pmod {81}$. Значит $s=6$.

"Если же $s=8$, то $81*m-8=10^{k+1}$, что снова невозможно по модулю $81$"

При $k=7$ выполняется равенство $81*m-8=10^{k+1}$, так как $(10^8+8)$ делится на $81$.