Областная олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс

Докажите, что если $a$, $b$, $c$ — длины сторон некоторого треугольника, то система $$ \left\{ \begin{matrix} a\left( yz+x \right)=b\left( zx+y \right)=c\left( xy+z \right), \\ x+y+z=1, \\ \end{matrix} \right. $$ имеет решение в положительных числах $x$, $y$, $z$.

Комментарий/решение

Пусть $a=n+m, \ b=m+t, \ c=n+t$ где $m,n,t$ касательные к вписанной окружности в треугольник.

Тогда уравнения выше учитывая второе уравнение, представить как

$(m+n)(y-1)=(m+t)(x-1) \\ (m+t)(z-1)=(n+t)(y-1) \\ (m+n)(z-1)=(n+t)(x-1)$

Откуда выражая

$x=\dfrac{t}{m+n+t} \\ y=\dfrac{n}{m+n+t} \\ z=\dfrac{m}{m+n+t}$

Откуда $x,y,z>0$