Областная олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс

Можно ли покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов (синий, желтый и красный) так, чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел разного цвета их сумма была третьего цвета (отличного от цветов, в которые покрашены сами числа)?

Комментарий/решение

Ответ: Нет, нельзя.

Обозначим цвета как (синий, желтый, красный)$ =(a,b,c).$ Без ограничения общности пусть число $1$ покрашен в цвет $a.$

Случай 1: Пусть $2$ покрашен в отличный от $a$ цвет, скажем $b.$ Тогда, $3$ покрашен в $c, 4$ покрашен в $b$ $(4=1+3).$ С одной стороны, $5$ покрашен в $c$ $(5=4+1),$ а с другой покаршен в $a$ $(5=2+3) \rightarrow \leftarrow$

Случай 2: Пусть $2$ покрашен $a.$ Тогда, $3$ покрашен в другой цвет, например в $c, 4$ покрашен в $b$ $(4=1+3).$ С одной стороны, $5$ покрашен в $c$ $(5=4+1),$ а с другой покаршен в $b$ $(5=2+3) \rightarrow \leftarrow$

Начало хорошее. Не все случаи рассмотрены. Например, если все числа 1, 2 и 3 одного цвета. Или также, когда числа $1$, $2$, ..., $n$ --- все одного цвета.

$1+2=3$

Все понял ошибку

Допустим что это возможно.Обозначим вид цветов как a,b and c.

a+b$\Rightarrow$c $\Leftrightarrow$ (b+c)+b$\Rightarrow$c, a+(a+c)$\Rightarrow$c,(b+c)+(a+c)$\Rightarrow$c

b+c$\Rightarrow$a

a+c$\Rightarrow$b

Выводим и раскрываем скобки.

2b+c$\Rightarrow$c

2a+c$\Rightarrow$c

2c+(a+b)=2c+c$\Rightarrow$c

Выходит что 2b,2c,2a - покрашены в цвет с, иначе условия не удовлетворятся.Аналогичным образом получаем что 2b,2c,2a - покрашены в цвет b.Но число нельзя покрасить сразу в два а то и даже в три цвета.Противоречие

Ответ : Нельзя

Есть $3$ цвета $a , b , c$

Допустим что 1 цвета c

Теперь рассмотрим число $x_a + y_b = z_c$

Находим число $z-1$ получим $z-1+1_c = z_c$ что не устраивает условия задачи, если $z-1$ цвета $a$ или $b$ , значит чтобы условия выполнить , надо $z-1$ был тоже цвета $c$ . Повторяем те же действия с $z-1$ и получаем что и $z-2$ цвета $c$ . Если повторять действия, получим что невозможно удовлетворить условия задачи и все числа будут цвета $c$.

Ответ:Невозможно

Допустим мы смогли покрасить числи как сказано в условии

Обозначим синий,желтый и красный как a,b и c

Б.О.О цвет одного a,то существует такая числа х, что цвет отличается от одного.Б.О.О цвет (х)-b,следует что цвет (х+1) с,

То цвет (х+2)-b, то (х+3)-с и тд.

В один момент цвет (2х+1) красим на b либо на с.

Но цвет (х)-b и цвет (х+1)-с,тогда (х+х+1) должен быть покрасен на а-шки.Противоречие.