Областная олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс


Можно ли покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов (синий, желтый и красный) так, чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел разного цвета их сумма была третьего цвета (отличного от цветов, в которые покрашены сами числа)?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2017-07-15 21:12:40.0 #

Ответ: Нет, нельзя.

Обозначим цвета как (синий, желтый, красный)$ =(a,b,c).$ Без ограничения общности пусть число $1$ покрашен в цвет $a.$

Случай 1: Пусть $2$ покрашен в отличный от $a$ цвет, скажем $b.$ Тогда, $3$ покрашен в $c, 4$ покрашен в $b$ $(4=1+3).$ С одной стороны, $5$ покрашен в $c$ $(5=4+1),$ а с другой покаршен в $a$ $(5=2+3) \rightarrow \leftarrow$

Случай 2: Пусть $2$ покрашен $a.$ Тогда, $3$ покрашен в другой цвет, например в $c, 4$ покрашен в $b$ $(4=1+3).$ С одной стороны, $5$ покрашен в $c$ $(5=4+1),$ а с другой покаршен в $b$ $(5=2+3) \rightarrow \leftarrow$

  0
2017-07-16 00:22:41.0 #

Начало хорошее. Не все случаи рассмотрены. Например, если все числа 1, 2 и 3 одного цвета. Или также, когда числа $1$, $2$, ..., $n$ --- все одного цвета.

  0
2017-07-16 00:25:12.0 #

$1+2=3$

  0
2017-07-16 00:26:22.0 #

Все понял ошибку