Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 11 класс

Сколько шестизначных натуральных чисел, кратных 3, десятичная запись которых содержит только цифры 0, 1, 2?

Комментарий/решение

Пусть $a=\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}$ - искомое число и $s=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6$, тогда, так как $3 \mid a$, то $3 \mid s$. Значит, $s=\{3,6,9,12\}$.

b_1._b $s=3$.

b_а)_b $a=\overline{1\{0,0,0,1,1\}}$, $N=\cfrac{5!}{2! \cdot 3!}=10$.

b_б)_b $a=\overline{1\{0,0,0,0,2\}}$, $N=\cfrac{5!}{1! \cdot 4!}=5$.

b_в)_b $a=\overline{2\{0,0,0,0,1\}}$, $N=\cfrac{5!}{1! \cdot 4!}=5$.

b_2._b $s=6$.

b_а)_b $a=111111$, $N=1$.

b_б)_b $a=\overline{1\{0,1,1,1,2\}}$, $N=\cfrac{5!}{1! \cdot 1! \cdot 3!}=20$.

b_в)_b $a=\overline{2\{0,1,1,1,1\}}$, $N=\cfrac{5!}{1! \cdot 4!}=5$.

b_г)_b $a=\overline{1\{0,0,1,2,2\}}$, $N=\cfrac{5!}{1! \cdot 2! \cdot 2!}=30$.

b_д)_b $a=\overline{2\{0,0,1,1,2\}}$, $N=\cfrac{5!}{1! \cdot 2! \cdot 2!}=30$.

b_е)_b $a=\overline{2\{0,0,0,2,2\}}$, $N=\cfrac{5!}{2! \cdot 3!}=10$.

b_3._b $s=9$.

b_а)_b $a=\overline{\{1,1,1,2,2,2\}}$, $N=\cfrac{6!}{3! \cdot 3!}=20$.

b_б)_b $a=\overline{1\{0,2,2,2,2\}}$, $N=\cfrac{5!}{1! \cdot 4!}=5$.

b_в)_b $a=\overline{2\{0,1,2,2,2\}}$, $N=\cfrac{5!}{1! \cdot 1! \cdot 3!}=20$.

b_4._b $s=12$.

b_а)_b $a=222222$, $N=1$.

Значит, всего $162$ искомых числа.