Областная олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс

В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ $AB=BC$ и $\angle BCD=\angle EAB=90^\circ$. Внутри пятиугольника взята такая точка $X$, что $AX\perp BE$ и $CX\perp BD$. Докажите, что $BX\perp DE$.

Комментарий/решение

Положим что это верно, то есть $BX \perp DE$ , тогда рассмотрим четырехугольник $BXNH$ , заметим то что около него можно описать окружность,тогда $\angle XHN=\angle XBN; \angle XNH=\angle XBH$,из условия того, что они опираются соответственно на одну и ту же дугу.Тогда треугольники $\Delta BHN; \Delta BCD$ подобны ,откуда $\frac{BH}{BD}=\frac{BN}{BE}; BH*BE =BN*BD$.Осталось доказать это, из попарно подобных треугольников $\Delta EAB; \Delta AHB$ , $\Delta BCD ; \Delta CNB$,то есть $\frac{AB}{BH}=\frac{BE}{AB}\\ \frac{AB}{BN}=\frac{BD}{AB}$

Откуда $BH*BE = BN*BD$ , то есть условие верное, откуда следует действительность доказываемого .

Известный факт: диагонали четырёхугольника (даже невыпуклого) перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

Тогда имеют места следующие равенства:

$$EX^2+AB^2=XB^2+AE^2$$

$$XD^2+BC^2=XB^2+CD^2$$

При вычитании получаем:

$EX^2+CD^2=AE^2+XD^2$, прибавив к обеим частям $AB^2$ по теореме Пифагора имеем:

$EX^2+DB^2=XD^2+EB^2$, тем самым $BX \bot DE$.