Областная олимпиада по математике, 2013 год, 10 класс

Мышка грызет куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика?

Комментарий/решение

$Ответ: нет$

Покрасим данный куб в шахматном порядке. Пусть единичный кубик в центре будет покрашен в белый цвет. И будем красить остальные кубики так: кубики которые имеют общие грань будут покрашены в разные цвета. Тогда если удалить кубик в центре из 26 единичных кубиков $14 $ будут чёрными, а $12 $белыми. Но так как когда мышка ест кубики она переходит из былого кубика в чёрный. Но разность белых и чёрных кубиков больше $1,$ значит она не сможет съесть все кубики.