Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс


Пусть $x \geq y \geq z>0$. Докажите, что $ (x-y+z) \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 1.$
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   1 | проверено модератором
2015-12-19 14:34:31.0 #

$(x-y+z)(yz-xz+xy) \geq xyz\\ -x^2z+x^2y-y^2z+xyz-xy^2+yz^2-xz^2+xyz \geq 0\\ (x-y)(x+z)(y-z) \geq 0$

Из условия вытекает что

$x-y \geq 0\\ y-z \geq 0$

откуда $(x-y)(x+z)(y-z) \geq 0$

пред. Правка 3   0
2017-08-25 17:51:39.0 #

$\frac {1}{z}\leq\frac {1}{y}\leq\frac {1}{x}>0$

1) $(\frac {1}{y}-\frac {1}{x})*(y-z)\geq0$

Упростим получим:

$1+\frac {z}{x}\geq\frac {y}{x}+\frac {z}{y}$

2) $(\frac {1}{z}-\frac {1}{y})*(x-y)\geq0$

Упростим неравенство, получим:

$1+\frac {x}{z}\geq\frac {x}{y}+\frac {y}{z}$

Сложим 1 и 2 получим неравенство.