Областная олимпиада по математике, 2013 год, 9 класс
Комментарий/решение:
$\frac {1}{z}\leq\frac {1}{y}\leq\frac {1}{x}>0$
1) $(\frac {1}{y}-\frac {1}{x})*(y-z)\geq0$
Упростим получим:
$1+\frac {z}{x}\geq\frac {y}{x}+\frac {z}{y}$
2) $(\frac {1}{z}-\frac {1}{y})*(x-y)\geq0$
Упростим неравенство, получим:
$1+\frac {x}{z}\geq\frac {x}{y}+\frac {y}{z}$
Сложим 1 и 2 получим неравенство.
Решение в лоб.
Пусть, x=y+k=z+m+k; y=z+m, тогда
(!)(k+z)(z^2+2mz+m^2+km/z^3+2mz^2 +zm^2+kz^2+kmz) >= 1
Просто умножим, тогда
kz^2+z^3+3kmz+2mz^2+km^2+zm^2+mk^2 >= z^3+2mz^2+zm^2+kz^2+kmz
Сокращаем и получим
2kmz+km^2+mk^2 >= 1
Если x>y>z, то это верно, если это не так, то либо x=y, либо y=z, либо x=y=z.
Очевидно, во всех трех случаях выражение равно единице, ЧТД.
Ваше решение в $\LaTeX$:
Решение в лоб.
Пусть, $x=y+k=z+m+k; y=z+m$, тогда
$ (!)(k+z)(z^2+2mz+m^2+\frac{km}{z^3}+2mz^2 +zm^2+kz^2+kmz) \geq 1$
Просто умножим, тогда
$kz^2+z^3+3kmz+2mz^2+km^2+zm^2+mk^2 \geq z^3+2mz^2+zm^2+kz^2+kmz$
Сокращаем и получим
$ 2kmz+km^2+mk^2 \geq 0$
Если $x>y>z,$ то это верно, если это не так, то либо $x=y,$ либо $y=z,$ либо $x=y=z.$
Очевидно, во всех трех случаях выражение равно единице, ЧТД.
Писать на нём можно научиться здесь.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.