Областная олимпиада по математике, 2010 год, 11 класс

Найдите все функции $f: \mathbb{R}^+\to \mathbb{R} ^+$, удовлетворяющие тождеству: $\left( {1 + y \cdot f(x)} \right)\left( {1 - y \cdot f(x + y)} \right) = 1,$ для любых $x, y \in \mathbb{R}^+$, где $\mathbb{R}^+$ — множество всех положительных действительных чисел.

Комментарий/решение

$\left( {1 + y \cdot f(x)} \right)\left( {1 - y \cdot f(x + y)} \right) = 1$

$y \cdot f(x) - y \cdot f(x+y) - y^2 \cdot f(x) \cdot f(x+y)=0$

$f(x) - f(x+y) - y \cdot f(x) \cdot f(x+y)=0$

Далее для $y = 1$:

$f(x)-f(x+1)-f(x) \cdot f(x+1) = 0$

$f(x+1)(1+f(x))=f(x)$

Получаем рекуррентное соотношение без заданного первого члена:

$f(x+1)=\dfrac{f(x)}{1+f(x)}$

Пусть $f(0)=a$, где $a\in (0,+ \infty)$. Тогда решением этого уравнения будет функция $f(x)=\dfrac{a}{1+ax}$.

Несложно проверить найденное решение, подставив его в исходное уравнение.

i_Ответ_i: $f(x)=\dfrac{a}{1+ax}$, где $a\in (0,+ \infty)$.