Областная олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс


Для треугольника $ABC$ с углами $\angle A =2\angle B$ докажите равенство $a^2=b(b+c)$, где $a, b, c$ — длины сторон $BC, CA, AB$ соответственно.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
2019-01-11 20:20:18.0 #

Проведя биссектрису $AL$ получаем подобие треугольников $ABC,ALC$ откуда $ \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{BL}$(1) учитывая теорему о биссектрисе $\dfrac{BL}{a-BL} = \frac{c}{b}$ откуда $BL = \frac{ac}{b+c}$ подставляя в $(1)$ следует $a^2=b(b+c)$.