Областная олимпиада по математике, 2010 год, 9 класс


Найдите все целые числа $m$, $n$ удовлетворяющие уравнению $3\cdot 2^m+1=n^2$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   -1
2018-01-03 18:29:12.0 #

$3 \cdot 2^m+1=n^2$ преобразуем в $3 \cdot 2^m=(n-1)(n+1)$ откуда при $n > 2 $ всегда нечетное , также очевидны решения при $n=\pm 2, \pm 5, \pm 7$ соответственно $m=0,\ 3, \ 4$ , покажем что больше решений нет, положим что решения есть при $m>4$ то $3 \cdot 2^m = 4 \cdot a(a+1)$ где $a>3$ имеет смысл рассматривать когда одно из чисел $a,a+1$ делится на 3, иначе решений нет. Положим что $a$ делится на 3, тогда $4 \cdot 3x (3x+1) = 3 \cdot 2^m $ или $x(3x+1)=2^{m-2}$ при $x>1$ и каждый множитель $x, \ 3x+1 < 2^{m-2}$ каждый из них должен делится на $2$ но это невозможно, так как одно из них всегда будет нечетно, противоречие.

  0
2018-01-03 15:30:54.0 #

Но ты ведь никак не ограничил форму n и m , значит ты должен будешь перебирать бесконечно много раз

  0
2018-01-08 16:58:37.0 #

Он показал решения при m<5 и показал что других решений нет. Что не так?