Областная олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ к сторонам $BC$, $AC$, $AB$ соответственно. На высотах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ выбраны точки $D$, $E$, $F$ так, что $\frac{{AD}}{{AA_1 }} = \frac{{BE}}{{BB_1 }} = \frac{{CF}}{{CC_1 }} = k$. Определите все значения $k$, для которых треугольник $ABC$ подобен треугольнику $DEF$.