Областная олимпиада по математике, 2009 год, 10 класс

В треугольнике $ABC$ вписанная окружность с центром $I$ касается сторон $AB$, $BC$ и $CA$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Обозначим через $E$ – точку пересечения прямых $MN$ и $AC$. Докажите, что прямая $IE$ перпендикулярна прямой $BK$.

Комментарий/решение

По известному утверждению $MN$ - это поляра точки $B$, так как $E$ лежит на этой поляре то по свойству поляр, точка $B$ лежит на поляре точки $E$, если $EF$ вторая касательная, то на $KF$. Значит $KFE$ равнобедренный треугольник и так как $EI$ его биссектриса то $EI \perp BK$.