Областная олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) $D$ — середина $AC$, $E$ — проекция $D$ на $BC$, $F$ — середина $DE$. Докажите, что прямые $BF$ и $AE$ перпендикулярны.

Комментарий/решение

$Z = BF \cap AE$ , проведем высоту из вершины $A$ на сторону $BC$ , положим что основание высоты $H$ , треугольники $\Delta BDE , \Delta AHC$ подобны , получим $\dfrac{HC}{AH}=\dfrac{DE}{BE}$(1). Заметим что $DE=\dfrac{AH}{2}$ как средняя линия , откуда (1) запишется как $\dfrac{HE}{AH} = \dfrac{EF}{BE}$ или что тоже самое $tg \angle HAE = tg \angle EBF$ , значит точки $A,Z,B,H$ лежат на одной окружности , откуда $\angle AZB = \angle AHB = 90^\circ$.