Областная олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс


В каждой из трех школ учатся по $n$ учеников ($n\in N$). Каждый ученик имеет ровно $n+1$ знакомых в двух других школах. Докажите, что найдутся три ученика, по одному из каждой школы, которые дружат друг с другом.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
2016-12-25 21:30:25.0 #

При доказательстве положим, что если $A $ знает $B $, то и $B $ знает $A ,$ , и еще если два школьника из одной школы,то они знают друг друга. Пронумеруем школы: $1, 2,3$. В школе номер $1$ возьмем случайного человека $А $. Пусть он знает школьника $B $. Получаем, что $B $ знает $A $. Рассмотрим две ситуации

1) $B $ имеет хотя бы одного знакомого из школы номер $1$ , отличного от $A $. Тогда условие выполнимо, ведь эти ученика знают друг друга и $B $

2) Пусть $B $ не имеет знакомых в школе номер $1$ . Но тогда он знает всех учеников школы номер $3$. Пусть $B $ знает конкретно $C $ и $D$. Но тогда $C $ и $D $ тоже знают $B $. Так как $C$ и $D $ из одной школы, то они знают друг друга. Это завершает доказательство

  1
2021-01-12 14:37:55.0 #

1234567

У тебя не правильно

Там написано

Докажите, что найдутся три ученика, по одному из каждой школы, которые дружат друг с другом.

А ты доказал другое

  0
2021-01-14 18:14:26.0 #

Можете указать где проблема, где я противоречу или где решение ушло в сторону?

Буду благодарен)

  1
2021-06-06 01:34:02.0 #

Смотрите пункт 1) доказательства, если у B есть еще друг из 1 школы помимо А, пусть это D, то тогда A B D, знакомы между собой, но они втроем не образуют тройку из представителей трех разных школ, пункт 2) доказательства та же ошибка

  0
2021-06-06 12:34:17.0 #

Понятно, спасибо!)