Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 9 класс

Докажите, что если для целых $x$, $y$ число $x^2+3xy+y^2$ делится на 25, то $x$ и $y$ делятся на 5.

Комментарий/решение

$x^2+3xy+y^2 \,\vdots\, 25$

$x^2+3xy+y^2 \,\vdots\, 5$

$(x-y)^2+5xy \,\vdots\, 5$

$(x-y)^2 \,\vdots\, 5$

$\boxed{x-y \,\vdots\, 5}$

$(x-y)^2 \,\vdots\, 25$

$\boxed{xy \,\vdots\, 5}$

$x^2+3xy+y^2 \,\vdots\, 25$

$x^2+3xy+y^2 \,\vdots\, 5$

$(x+y)^2+xy \,\vdots\, 5$

$(x+y)^2 \,\vdots\, 5$

$\boxed{x+y \,\vdots\, 5}$

$x+y+x-y \,\vdots\, 5$

$x \,\vdots\, 5$

$x+y-x+y \,\vdots\, 5$

$y \,\vdots\, 5$