Областная олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс

Найдите все четверки рациональных чисел $a$, $b$, $c$, $d$, удовлетворяющие уравнениям: $8a^2-3b^2 + 5c^2 + 16d^2-10ab + 42cd +18a + 22b-2c -54d =42$, $15a^2 - 3b^2 + 21c^2 - 5d^2+ 4ab + 32cd- 28a +14b -54c -52d = - 22$.

Комментарий/решение

$8a^2-3b^2+5c^2+16d^2-10ab+42cd+18a+22b-2c-54d=42\\ 15a^2-3b^2+21c^2-5d^2+4ab+32cd-28a+14b-54c-52d=-22$

Преобразуем первое и второе уравнение

$(16d+21c-27)^2+16(2a-3b+7)(4a+b-5)=(19c-29)^2 \\(5d-16c+26)^2+5(b-3a-1)(5a+3b-11)=(19c-29)^2$

выражения получаются если решить уравнения как квадратное, относительно переменной $d$.

Выражая $d$ с первого и второго не обращая внимание на знак корня (в данном случае, оба положительны), приравнивая откуда

$d=\dfrac{\sqrt{(19c-29)^2-16(2a-3b+7)(4a+b-5)}-21c+27}{16}$

$d=\dfrac{\sqrt{(19c-29)^2-5(b-3a-1)(5a+3b-11)}+16c-26}{5}$

$ 5\sqrt{(19c-29)^2-16(2a-3b+7)(4a+b-5)}-16\sqrt{(19c-29)^2-5(b-3a-1)(5a+3b-11)}=19(19c-29)$

Если $19c-29=x, \ (2a-3b+7)(4a+b-5)=s, \ (b-3a-1)(5a+3b-11)=v$

$5\sqrt{x^2-16s}-16\sqrt{x^2-5v}=19x$

Откуда $x=\pm \dfrac{ \sqrt{ \pm 38\sqrt{s^2+sv+v^2}+37s+26v}}{\sqrt{3}}$

Отметим что $\sqrt{38\sqrt{s^2+sv+v^2}+37s+26v} = 20a-9b+13$

так как $\sqrt{s^2+sv+v^2}=\sqrt{(13a^2+3b^2-23a-18b+3ab+31)^2}$

То есть $x=\pm \dfrac{20a-9b+13}{\sqrt{3}}$ так как $x \in Q$ то $20a-9b+13=0$ иначе $x \notin Q$ откуда $c=\dfrac{29}{19}, \ 9b-20a=13 , a=\dfrac{9b-13}{20}$

Подставляя $ d=\dfrac{4\sqrt{3} \cdot \dfrac{7b-19}{5} -21c+27}{16} $ откуда $7b-19=0$ иначе $d \notin Q$ значит $b=\dfrac{19}{7}$ значит $a=\dfrac{4}{7}$ откуда $d=-\dfrac{6}{19}$.

Ответ $(a,b,c,d ) = (\dfrac{4}{7},\dfrac{19}{7}, \dfrac{29}{19}, -\dfrac{6}{19})$