Областная олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс

Дан треугольник $ABC$. Пусть $r$ — радиус вписанной в него окружности; $r_a$ — радиус полуокружности с центром на стороне $BC$, касающейся сторон $AB$ и $AC$. Аналогично определяются $r_b$ и $r_c$. Докажите справедливость равенства $2/r=1/r_a+1/r_b+1/r_c$.

Комментарий/решение

Пусть $I$ центр вписанной окружности и обозначим как $p$ полупериметр $\triangle ABC$ .

Очевидно, что центр окружности $r_c$ это основание биссектрисы $CN$. Пусть угол $ACB= \gamma.$ Заметим, что $r_c = CN \operatorname{sin} \frac{\gamma}{2}$.

Достаточно известно, что $CN = \frac{2 \sqrt{abp(p-a)}}{a+b}$ и $CI = \sqrt{(p-c)^2 + r^2}$, откуда $$r_c = CN \operatorname{cos} \frac{\gamma}{2} = \frac{2 \sqrt{abp(p-a)}}{a+b} \cdot \frac{r}{\sqrt{(p-c)^2 + r^2}} \Rightarrow $$

$$ \frac{r}{r_c} = \frac{(a+b)\sqrt{(p-c)^2 + r^2} }{2 \sqrt{abp(p-a)}}$$

Из формулы Герона и из тождества $r= \frac{S}{p}$, получим, что

$$ r^2 = \frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} $$

Если подставить это в уравнение $\frac{r}{r_c}$, получим что

$$ \frac{r}{r_c} = \frac{a+b}{2p} $$ и аналогично

$$ \frac{r}{r_a} = \frac{b+c}{2p} $$

$$ \frac{r}{r_b} = \frac{c+a}{2p} $$

Условие задачи эквивалентно $$ 2 = \frac{r}{r_a} + \frac{r}{r_b}+ \frac{r}{r_c}= \frac{2(a+b+c)}{2p} $$

Что верно.