Областная олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$, $D$ лежит на стороне $AC$. Пусть $E$ и $F$ основания перпендикуляров, опущенных из точек $A$ и $C$ на прямую $BD$, соответственно. $M$ — такая точка на стороне $BC$, что $DM$ перпендикулярно $BC$. Докажите, что $\angle EMD = \angle DMF$.

Комментарий/решение

Пуст $X \in EM \cap AC$ и $Y \in DM \cap CF$.

Опустим высоту $BH$ из точки $B$ на сторону $AC$ и докажем что высота проходит через точку $X$, так как $\angle EAX = 90 - \angle \dfrac{\angle ABC}{2} - \angle BAC$ тогда как $\angle DBH = 90- \dfrac{\angle ABC}{2} - \angle BAC$ то есть $X$ совпадает с $H$ и проходит также через $Y$ .

Тогда $DBMX$ вписанный , откуда $\angle DME = \angle DBX = \angle DCF = \angle DMF$ .