Областная олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс

Уравнение $2x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ с целыми коэффициентами имеет три различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй — косинусом, а третий — тангенсом одного угла. Найдите все такие уравнения.

Комментарий/решение

Все тригонометрические корни одного угла , по условию , тогда по теореме Виета

$$sinx+cosx+tgx = -\dfrac{a}{2}$$

$$sinx \cdot cosx+sinx \cdot tgx+cosx \cdot tgx = \dfrac{b}{2}$$

$$sin^2x = - \dfrac{c}{2}$$

Из третьего $ -1 \leq \sqrt{-\dfrac{c}{2}} \leq 1 $ , откуда только три целых значения $c=-2,-1,0$ . То есть $sinx=1, \dfrac{1}{2} , 0$

Подходит случаи , когда $sin^2x =\dfrac{1}{2} , \ \ c=-1$ откуда $x=\dfrac{3\pi}{4}$ , то есть $b=-1$ , $a=2$

Ответ $2x^3+2x^2-x-1$