Районная олимпиада, 2023-2024 учебный год, 11 класс

а) Может ли сумма цифр десятичной записи куба натурального числа быть равной 2023? б) Может ли десятичная запись куба натурального числа содержать ровно 2023 цифры?

Комментарий/решение

а)Нет, рассмотрим по модулю $9$:

$n^3 \equiv 0;1;8 \pmod{9}$ но $2023\equiv 7\pmod{9}$. Если воспользоваться тем, что остаток суммы цифр числа равен остатку от числа при делении на $9$, то получим противоречие

б)Да, пример: $10^{2022}=10^{3\times 674}=(10^{674})^3$ Ну, а тут 2022 нулей и одна однерка

а) デジタルルート定理によると、数字の合計はその数を9で割った余りと等しいです。したがって、数字の合計はその数の合計の3乗でなければなりません。しかし、数字2023は9で割り切れないので、自然数の立方体の数字の合計は2023になりません。

б) 自然数の立方体の10進数表記がちょうど2023桁である場合、式\( \lfloor \log_{10}(n^3) \rfloor + 1 = 2023 \) を考えます。

したがって、\( \log_{10}(n^3) \) は2022と2023の間である必要があります。したがって、\( n^3 \) は \( 10^{2022} \) と \( 10^{2023} \) の間にある必要があります。

\( n^3 \) が \( 10^{2023} \) より小さい場合、最小の自然数 \( n \) は \( 10^{674} \) です。そして、\( n^3 \) が \( 10^{2022} \) より大きい場合も同様に、最小の自然数 \( n \) は \( 10^{674} \) です。

したがって、自然数の立方体の10進数表記がちょうど2023桁である場合、その数は \( 10^{674} \) である必要があります。