Областная олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс

Для натуральных чисел $m$ и $n$ обозначим через $F(m,n)$ количество всех связных клеточных фигур в прямоугольнике $m \times n$. Докажите, что четность $F(m,n)$ совпадает с четностью числа $\frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{m(m+1)}{2}$. (Связная клеточная фигура — это такое непустое множество клеток, что из любой клетки этого множества можно пройти в любую другую клетку этого множества, переходя каждый раз в соседнюю по стороне клетки).