Областная олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс

Пусть $ y=k_1x + b_1$, $y = k_2x + b_2$, $y = k_3x + b_3$ — уравнения трех касательных к параболе $y = x^2$. Докажите, что если $k_3 = k_1 + k_2$, то $b_3\geq 2(b_1 + b_2)$.

Комментарий/решение

$k_{1} x+b _ {1} = x^2 $ откуда $b _ {1} = -\dfrac{ k _ {1}^2 }{4}$ так как $D=0$ , так же с другими , получим $ \dfrac{ k_ {1}^2 +k_ {2}^2 }{2} \geq \dfrac{ k_ {3}^2 }{4} $ , но $k _ {3}=k _ {1} + k _ {2} $ ,

$(k _ {1} + k _ {2})^2 \leq 2(k _ {1}^2 + k _ {2} ^2 )$ которое верно