Областная олимпиада по математике, 2006 год, 10 класс

Можно ли нарисовать на плоскости 2005 ненулевых векторов так, что из любых десяти из них можно выбрать три с нулевой суммой?

Комментарий/решение

Решение: Пусть можно. Предположим, что есть 9 векторов, среди которых не найдется трёх с нулевой суммой. Тогда выберем любой другой вектор, по условию он будет давать $0$ с какими-то 2 векторами из этой девятки. То есть он может принимать $\frac{9\cdot8}2=36$ значений. Кроме девятки, осталось 1996 векторов, значит по принципу Дирихле среди них есть по крайней мере $\frac{1996}{36}>10$ равных ненулевых векторов. Рассмотрение 10 из них даёт противоречие предположению. Получается среди любых 9 векторов найдутся 3 с нулевой суммой. Аналогично доказываем для 8,7, и так далее до 3. То есть сумма любых 3 векторов нулевая, откуда сразу следует, что все равны $0$

Ответ: нет.