6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

На координатной плоскости на графике гиперболы $y_1=\frac{2}{x}$ выбрана точка $A$, а на графике гиперболы $y_2=\frac{1}{x}$ выбраны точки $B$ и $C$ так, что прямая $AB$ параллельна оси абсцисс, а прямая $AC$ параллельна оси ординат. Найдите площадь треугольника $ABC$. (Точки $A,B,C$ выбираются на первой четверти координатной плоскости.)

Комментарий/решение

$AB \parallel ox; AC \parallel oy \Rightarrow \angle BAC= 90 \Rightarrow S(ABC)=\dfrac{AC*AB}{2}$

$A(m; \dfrac{2}{m})$

$B(m; \dfrac{1}{m})$

$C(x; \dfrac{2}{m}) \dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{m} \Rightarrow x=\dfrac{m}{2}$

$AC=|m-\dfrac{m}{2}|=\dfrac{m}{2}$

$AB=|\dfrac{2}{m}-\dfrac{1}{m}|=\dfrac{1}{m}$

$S(ABC)=\dfrac{\dfrac{m}{2}*\dfrac{1}{m}}{2}=\dfrac{1}{4}$