6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Дана квадратная таблица $n\times n$. Арсен покрасил клетки двух главных диагоналей (идущей из левого верхнего угла в правый нижний и из правого верхнего угла в левый нижний) в синий цвет. Могло ли у него получиться ровно 2023 синих клетки?

Комментарий/решение

Мы знаем что не чётные кол.во клеток на диагонали только на таблице ко с не чётными сторонами.На Таблице 3х3 их количество 5

На таблице 5x5 их количество 9 на таблице 7х7 их количество 13, и так продолжаясь можно заметить последовательность в +4.

Число $2023 \equiv 3 \pmod 4$.

А все эти числа $5,9,13,17.. \equiv 1 \pmod 4$

Значит на последовательности не будет числа 2023 а будет 2021 значит это не возможно.

Заметим , что если $n$ - четное, то и кол-во клеток синего цвета будет четное, и аналогично с $n$ - нечетное, а 2023 нечетное, значит нам подходит 2 вариант.

Заметим, что кол-во клеток синего цвета должны давать остаток 1 при делении на 4, а 2023 дает остаток 3 при делении на 4.

Противоречие