6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Вычислите $\text{НОД}\left( 111111111111, 11111111 \right)$.

Комментарий/решение

Заметим, что кол-во единиц в первом числе равно 12, а во втором 8 $\Rightarrow$ они оба делятся на число с кол-вом единиц 4, теперь достаточно доказать $(\dfrac{111111111111}{1111} ; \dfrac{11111111}{1111})=1$

$(\dfrac{111111111111}{1111} ; \dfrac{11111111}{1111})=(100010001; 10001)=(100000000; 10001)=(10^8; 10001)$

$(10001; 2)=1; (10001; 5)=1 \Rightarrow (10001; 10)=1 \Rightarrow (10001; 10^8)=1$

Отв:1111