Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур регионального этапа

Внутри параллелограмма $ABCD$ отмечена точка $E,$ лежащая на биссектрисе угла $A,$ и точка $F,$ лежащая на биссектрисе угла $C.$ Известно, что середина отрезка $BF$ лежит на отрезке $AE.$ Докажите, что середина отрезка $DE$ лежит на прямой $CF.$ ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Пусть биссектриса угла $А$ пересекается с $BC$ в точке $A_1$

Тогда треугольник $ABA_1$ равнобедренный, где $AB=BA_1$.

Также с биссектрисой угла $C$. Отсюда следует, что $AA_1$ || $CC_1$

По условию, середина $BF$, назовем ее точкой M, лежит на $AA_1$,

$MA_1$ || $FC$,

$MA_1$-средняя линия треугольника BFC, $BA_1=A_1C$

$AB=BA_1=A_1C=DC=DC_1=C_1A$ Значит и для $DE$, ее середина будет лежать на прямой $CF$