Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 8 класс

Один восьмиклассник утверждает, что сможет разрезать любой квадрат на десять меньших квадратов (среди которых могут быть одинаковые). Не ошибается ли он?

Комментарий/решение

Пусть площадь квадрата будет $S$. Очевидно, что любой квадрат можно разрезать на 4 равных квадрата. Поделим квадрат, тогда $S=4S_1$, где $S_1=\cfrac{1}{4}S$. Возьмем один полученный квадрат и поделим, тогда $S_1=4S_2$, где $S_2=\cfrac{1}{4}S_1$, значит $S=3S_1+4S_2$. Возьмем один полученный квадрат и поделим, тогда $S_2=4S_3$, где $S_3=\cfrac{1}{4}S_2$, значит $S=3S_1+3S_2+4S_3$.