Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 9 сынып


Теңдеуді шешіңіздер: $3(p^q+q^p)=n!$, мұндағы $p$, $q$ — жай сандар, $n$ — натурал сан.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-01-03 14:50:10.0 #

Ассалаумағалайкум, братья и сестры.

Ответ: p = q = 2, n=4.

Решение: Понятно что, n > 3 и n > p, тогда число n!/3*p - целое число. Из условий выходит что, p*(n!/3*p - p^(q-1)) = q^p =》p не равняется q^p и не равняется 1 =》p=q и (n!/3*p - p^(q-1)) = p^(p-1) =》n! = 6*p^p, ясно что, n < 5 =》 n=4, q=p=2.