Районная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 9 класс

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. На прямой $AB$ и $AC$ выбраны точки $E$, $D$ ($E \ne A$, $D \ne A$) соответственно. Оказалось, что точки $E$, $D$ лежат по одну сторону от прямой $BC$ и $EB = BK$, $CD = CK$. Докажите, что если точка пересечения диагоналей четырёхугольника $EBCD$ лежит на прямой $AK$ то $AB = AC$. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

Давайте возьмем точки $E$ и $D$ на отрезках $AB$ и $AC$ Заметим что $AK, CE, BD$ это чевианы треугольника $ABC$ которые пересекаются в одной точке. Тогда по Теореме Чевы : $AD/DC * CK/KB * BE/AE =1$ . Сократив равные стороны у нас выходит что $AD= AE$. Теперь по теореме Биссектрис у нас выходит что $(AD+DC)/CK = (AE+EB)/KB.$ Из этого у нас выходит что $AE+EB=AD+DC$, а эти суммы это и есть стороны $AB$ и $AC.$

1) Үшбұрыш $ABC$ тең бүйірлі, яғни $AB = BC$ болсын деп ұйғарайық, олай болса $BK=CK$.

2) Есеп шарты бойынша $EV = VK$, $SD = SK$, ендеше $EV = SD$. Демек, $EVSD$ төртбұрышы тең бүйірлі трапеция болып табылады.

3) $VD\cap AK = 0$ болсын, онда $ES\cap AK = 0$ болады, өйткені $EV = SD$. Сонымен $EVSD$ төртбұрышының диагональдарының қиылысу нүктесі $AK$ түзуінің бойында жатады.

Қорытынды: Жасалған ұйғарым дұрыс, демек $AB = AC$. д.к.о.е.