Областная олимпиада по математике, 2005 год, 11 класс

Докажите для любых положительных чисел $x$ и $y$ неравенство: $x \cdot 2^y + y \cdot 2^{ - x} \geq x + y.$

Комментарий/решение

$$ x\cdot 2^y+y\cdot 2^{-x} \geq x+y \qquad \quad (1)$$

$$(*):\quad f(y)= 2^y \geq 1 \qquad y\geq 0 \Rightarrow$$

$$ \Rightarrow x2^y\geq x \qquad \quad x,y \in [0,\infty) \qquad (2)$$

$$ h(x)=2^{-x} \leq 1 \qquad x \in [0,\infty)$$

$$ y2^{-x} \leq y \qquad x,y \in [0,\infty) \Rightarrow $$

$$ -y2^{-x} \geq- y \qquad x,y \in [0,\infty) \qquad (3)$$

$$ (2)+(3): \quad x2^y-y2^{-x} \geq x-y \qquad x,y \in [0,\infty) \quad (4) $$

$$ (1) +(4): \quad 2x2^y \geq 2x \Rightarrow (*)$$

Решение не правильно, не факт что разность двух правильных неравенств правильно.

Данное неравенства эквивалентна этой:

$\dfrac{(2^{xy/(x+y)})^{(x+y)/x}}{(x+y)/x}+ \dfrac{(2^{-xy/(x+y)})^{(x+y)/y}}{(x+y)/y} \geq 2^{xy/(x+y)} 2^{-xy/(x+y)}$

Это неравенство равенство частный случай неравенства юнга( $a^p/p+b^q/q \geq ab$ Где $1/p +1/q=1$)