Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2023 год


На сторонах $BC,$ $CA,$ $AB$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $K,L,M$, а внутри треугольника выбрана точка $P$ так, что $PL \parallel BC,$ $PM \parallel CA,$ $PK \parallel AB$. Может ли оказаться, что все три трапеции $AMPL,$ $BKPM$, $CLPK$ — описанные?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  6
2023-01-26 12:53:15.0 #

Да , если треугольник $ABC$ равносторонний

  0
2023-02-14 19:07:05.0 #

треугольник же произвольный

  2
2023-02-17 11:10:51.0 #

Мне кажется вы спутали термины вписоннасти и описанности

  1
2023-02-15 09:31:42.0 #

Это баян, область 2023

  2
2023-02-17 11:12:56.0 #

Баян (Боян) — в интернет-сленге название повторной публикации шутки или информации. Информация может быть опубликована в том же источнике (например в том же форуме, или даже в том же разделе форума, группе, странице и т. д.)

С Википедии

Так что... Это область Баян

  1
2023-02-17 16:02:40.0 #

чел плох

  1
2023-02-17 16:02:51.0 #

чел плох

  1
2023-02-17 16:03:05.0 #

чел плох

  0
2023-02-17 14:18:20.0 #

Предположим, что все эти три трапеции описанные. Обозначим точки пересечения PL с BC, PK c AC, PM c BC, как точки D, E, F соответственно. Ввиду того, что четырехугольники FPLC, BDPK, AMPE - параллелограммы, выполняется ряд равенств сторон: AE = MP, AM = EP, BK = DP, BD = PK, PL = FC, PF = LC. Ежели все наши три трапеции AMPL, BKMP, CLPK по нашему предположению - описанные, в таком случае сумма противолежащих сторон трапеций равна, а именно: AE+EL+MP = AM+PL ; BD+DM+PK=BK+PM ; KF+FC+PL = PK+LC.

Суммируем все три равенства и сократим равные значения сторон. В итоге получим, что (DM+MP)+(EL+PL)+(PK+KF)=PM+EP+PF. Однако заметим, что из неравенств треугольников DMP, PEL, PKF мы получаем противоречивое неравенство: (DM+MP)+(EL+PL)+(PK+KF)>PM+EP+PF. Собственно отсюда мы можем утверждать, что эти три трапеции не могут быть описанными