Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур дистанционного этапа

Даны три положительных числа: $a$, $b$, $c$. Петя записал на доске числа $\frac{1}{a}+bc,\ \frac{1}{b}+ac,\ \frac{1}{c}+ab$, а Вася — числа $2a^2$, $2b^2$, $2c^2$. Оказалось, что оба записали одни и те же три числа (возможно, в разном порядке). Чему равно произведение $abc$? ( Н. Агаханов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 1.
Решение. I Перемножая выражения $\frac{1}{a}+bc,$ $\frac{1}{b}+ac,$ $\frac{1}{c}+ab$, получаем в произведении $\frac{{{(abc+1)}^{3}}}{abc}$, а перемножая $2a^2$, $2b^2$, $2c^2$ — $8(abc)^2$. По условию полученные произведения равны. Приравняв их и умножив обе части равенства на $abc$, получаем $8(abc)^3 = (abc+1)^3$, откуда $2abc = abc+1$ и $abc = 1$.
Решение. II Пусть $a \ge b \ge c$ (другие случаи аналогичны). Тогда, как легко видеть, $\frac{1}{a}+bc\le \frac{1}{b}+ac\le \ \frac{1}{c}+ab.$ С другой стороны, $2a^2 \ge 2b^2 \ge 2c^2$. Отсюда $\frac{1}{c}+ab=2{{a}^{2}},$ $\frac{1}{b}+ac=2{{b}^{2}},$ $\frac{1}{a}+bc=2{{c}^{2}}$. Умножив первое равенство на $c$, второе — на $b$, третье — на $a$, получаем, что $abc+1 = 2a^2c = 2b^3 = 2c^2a$, откуда $a = c = b$ и $abc+1 = a^3+1 = 2a^3$, то есть $a = c = b = 1$ и $abc = 1$.

Перемножим и сократим и сделаем $AM$$\geq$$GM$ для семи чисел, после получим неравенство $abc$$\geq$1 но суммировав получим неравенство $ab$+$bc$+$ca$ $\geq$

($ab$+$bc$+$ca$)($abc$) откуда следует что $abc$$\leq$1 отсюда получим что $abc$=1

бери 1 под латех, вот разница: $abc \geq 1$, $abc \geq$1, ну видишь что лучше