7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, третья лига, 11-12 классы

Точки $M$, $N$ и $P$ --- середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. На отрезке $BC$ выбраны такие точки $E$ и $F$, что $\angle NEC= \angle AMB/2$ и $\angle PFB=\angle AMC/2$. Докажите, что $AE=AF$.

Комментарий/решение

Чтобы доказать, что \( EF \parallel BC \), можно воспользоваться теоремой Таллеса. Для этого рассмотрим треугольник \( ABC \) и отрезок \( EF \), соединяющий середины двух его сторон.

Теорема Таллеса утверждает, что если в треугольнике провести отрезок, соединяющий середины двух его сторон, то этот отрезок будет параллелен третьей стороне, и его длина будет равна половине длины третьей стороны.

Таким образом, в данном случае, \( EF \) будет параллельно \( BC \) и равно половине длины \( BC \). Так как также \( EF \) равно половине длины \( AD \) (по условию), то \( EF \) будет параллельно и равно половине длины \( AD \).

Таким образом, мы доказали, что \( EF \parallel BC \).

Во первых что за теорема Талеса ,во вторых зачем нам их параллельность , зачем нам доказывать что они параллельные если они лежат на одной прямой

хорош факты

Так как $PN \ || \ BC$ пусть $MH, \ MG$ биссектрисы $\angle BMA, \ \angle AMC$ соответственно, пусть $T \in PN \cap HM, \ K \in PN \cap MG$ если $J,L$ середины $EM,FM$ если $I \in AM \cap PN$ и $X \in TM \cap EN, \ Y \in PF \cap KM, D \in XJ \cap PN, \ V \in YL \cap PN$ тогда $DJLV$ прямоугольник, но так как $HM, MK$ биссектрисы, тогда $TI=KI=MI$ учитывая что $PI=NI$ тогда $TP=NK$ значит $DI=VI$ тогда $JI=LI$ получается что $AE=2JI=2LI=AF$