Областная олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс

Пусть функция $y=f(x)$ при всех действительных $x$ определена, непрерывна и удовлетворяет условию: $f(f(x))=f(x)+x$. Найдите две такие функции $f$ (не равные тождественно нулю).

Комментарий/решение

Пусть $f(x)=ax$, тогда $a^2x=ax+x$ или $a^2-a-1=0$, а корни уравнение $a_{1/2}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$. Тогда подходят функции $f(x)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}x$ и $f(x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}x$.