Математикадан облыстық олимпиада, 2004-2005 оқу жылы, 9 сынып

$y=f(x)$ функциясы барлық $х$ нақты сандарда анықталған, үзіліссіз және келесі шартты қанағаттандырады: $f(f(x))=f(x)+x$. Көрсетілген шартты қанағаттандыратын $f$ екі (нөлге тең емес) функциясын табыңыздар.

Комментарий/решение

Пусть $f(x)=ax$, тогда $a^2x=ax+x$ или $a^2-a-1=0$, а корни уравнение $a_{1/2}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$. Тогда подходят функции $f(x)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}x$ и $f(x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}x$.