Областная олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс

Решите систему уравнений: $ \left\{ \begin{array}{rcl} xy+y^2+x=5y, \cr x^2+xy=6y. \cr \end{array} \right. $

Комментарий/решение

$$ x^2=6y-xy\Rightarrow y=\frac {x^2}{6-x}$$

$$\frac {x^3}{6-x}+\frac {x^4}{(6-x)^2}+x-\frac {5x^2}{6-x}=0$$

$$\frac {6x^3-x^4+x^4+36x-12x^2+x^3-30x^2+5x^3}{(6-x)^2}=0$$

$$ (6-x)^2 \ne 0 \Rightarrow 6-x\ne0 \Rightarrow x\ne 6$$

$$12x^3-42x^2+36x=0$$

$$6x(2x^2-7x+6)=0$$

$$ x_1=0\Rightarrow y_1= 0$$ $$ x_2=\frac {3}{2}\Rightarrow y_2= \frac {1}{2} $$ $$ x_3=2 \Rightarrow y_3=1$$

Ответ $(х_n; y_n) $ : $(0; 0) (\frac {3}{2}; \frac {1}{2})(2; 1)$

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy - xy - {y^2} - x = 6y - 5y,\\{x^2} - {y^2} = y + x.\end{array} \right.$

$\left(x-y\right) \times \left(x+y\right)=y+x$

$x-y=1$

$x=1+y$

$\left (1+y \right)^2+y\times \left (y+1\right)=6y$

$1+2y+y^2+y^2+y-6y=0$

$2y^2-3y+1=0$

$\left(2y-1\right)×\left(y-1\right)=0$

$|x=2,y=1|x=3/2,y=1/2|x=0,y=0|$