Областная олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс

Найдите сумму: $\dfrac{1}{{2!}} + \dfrac{2}{{3!}} + \dots + \dfrac{{n - 1}}{{n!}}$, где $n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$.

Комментарий/решение

Лемма: $\cfrac{n-1}{n!}=\cfrac{1}{(n-1)!}-\cfrac{1}{n!}.$

$\dfrac{n-1}{n!} = \dfrac{1}{(n-1)!} - \dfrac{1}{n!}$

Тогда $S= 1 + \dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\dfrac{1}{5!}+...+\dfrac{1}{(n-1)!} - \dfrac{1}{2!} - \dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{5!}+...-\dfrac{1}{n!} = 1-\dfrac{1}{n!} = \dfrac{n!-1}{n!}$