Областная олимпиада по математике, 2004 год, 11 класс


Найдите все функции $f:\mathbb{R}^ +\to \mathbb{R}^ +$ такие, что $f(x + y) + f(x)f(y) = f(x) + f(y) + f(xy),$ где $\mathbb{R}^+$ обозначает множество неотрицательных действительных чисел.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2018-01-28 23:42:38.0 #

Ответ:$f(x)=x;f(x)=2$

Решение. Легко проверить , что $f(x)=2$ удовлетворяет условию задачи. Найдем другие решения

$R(0;0) f(0)+f^2(0)=2f(0)+f(0)$ откуда следует, что $$f(0)=0$$

$R(2;2) f(4)+f^2(2)=2f(2)+f(4)$ откуда следует , что $$f(2)=2$$

$R(1;1) f(2)+f^2(1)=3f(1)$ откуда следует , что $$f(1)=1$$

По индукции докажем, что $f(x)=x$

1 шаг:$f(0)=0;f(1)=1;f(2)=2$

2 шаг. Пусть $f(k-1)=k-1$

3 шаг $R(1;k-1) f(k)+f(1)f(k-1)=f(1)f(k-1)+f(k-1)$ откуда следует, что $$f(k)=k$$ то есть $f(x)=x$

  1
2019-03-10 17:13:04.0 #

Если ты доказал для натуральных чисел, это не означает что ты доказал для действительных чисел.