Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 8 класс


Делится ли число $1+2+2^2+2^3+\dots+2^{77}$ на 7?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   -2 | проверено модератором
2017-08-04 00:27:50.0 #

$a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + \ldots + ab^{n - 2} + b^{n - 1})$

$2^{78}-1 = (2^3)^{26}-1 = (2^3-1)((2^3)^{25}+(2^3)^{24}+\ldots+2^3+1)=7 \cdot ((2^3)^{25}+(2^3)^{24}+\ldots+2^3+1).$ Следовательно, разделив данное число на 7 получим $((2^3)^{25}+(2^3)^{24}+\ldots+2^3+1),$ то есть $(2^{78}-1) \vdots 7.$

  0
2021-04-06 23:29:27.0 #

1+x+x^2+x^3+....+x^n=((x^n+1)-1)/x-1

Подставим нашу задачку под эту формулу и получим: (2^78)-1 = (8^26)-1

При делении 8^26 на 7, он дает остаток 1, в итоге в остатке остается: (1^26)-1=0

Значит (2^78)-1 делится на 7