5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$. Внутри треугольника $ABC$ нашлась точка $M$ такая, что $CM=HM > BC/2$. Сравните угол $CMA$ с углом $90^\circ$.

Комментарий/решение

Есть 3 расположения точки M, когда она находиться в $\triangle CBH$, когда она находиться на CH и когда она находиться в $\triangle ACH$

Случай 1:

Проведём медиану и по неравенству треугольников BC/2+BC/2>CM+HM, BC/2>HM противоречие

Случай 2:

Тогда CM+MH>BC, CH>BC катет больше гипотенузы противоречие

Остаётся только случай 3, тогда $\angle AMC > \angle AHC = 90$ по теореме