Областная олимпиада по математике, 2004 год, 10 класс

Для положительных действительных чисел $a$, $b$ и $c$ докажите неравенство: $$ \left( {\frac{a} {{b + c}} + \frac{1} {2}} \right)\left( {\frac{b} {{c + a}} + \frac{1} {2}} \right)\left( {\frac{c} {{a + b}} + \frac{1} {2}} \right) \geq 1. $$

Комментарий/решение

$\cfrac{2a+b+c}{2(b+c)}\cdot\cfrac{2b+c+a}{2(c+a)}\cdot \cfrac{2c+a+b}{2(a+b)} \geqslant 1$

Пусть $x=a+b$, $y=b+c$, $z=c+a$, тогда получим:

$\cfrac{x+z}{2y}\cdot \cfrac{x+y}{2z}\cdot \cfrac{y+z}{2x} \geqslant 1$

$\cfrac{x+z}{2}\cdot \cfrac{x+y}{2}\cdot \cfrac{y+z}{2} \geqslant xyz$

$\cfrac{x+z}{2}\cdot \cfrac{x+y}{2}\cdot \cfrac{y+z}{2} \geqslant \sqrt{xz}\cdot\sqrt{xy}\cdot\sqrt{yz}$