4-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Известно, что $ab=1$, $(2a+b)(a+2b)=2019$. Найдите значение суммы $a^2+b^2$.

Комментарий/решение

Ответ:1007

(2a+b)(a+2b)=2a^2+5ab+2b^2=2019

2a^2+2b^2+5=2019

2(a^2+b^2)=2014

a^2+b^2=1007

Умножим скобки:$(2a+b)(a+2b)=2a^2+4ab+ab+2b^2=2019 \Rightarrow 2a^2+5ab+2b^2=2019$

$2a^2+2b^2+5×1=2019$

$2a^2+2b^2=2014$

$a^2+b^2=1007$

Решение:

Мы первым делом перемножаем скобки:

$2a^2+5ab+2b^2=2019$

Мы знаем что $ab=1$, значит $5ab=5$

Тогда $2a^2+2b^2=2019-5 \Rightarrow 2a^2+2b^2=2014 \Rightarrow 2(a^2+b^2)=2014$

Теперь мы $2$ переводим на правую сторону, и выходит то что $a^2+b^2=1007$, что и требовалось найти.

Ответ: $a^2+b^2=1007$