Областная олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс

Периметр треугольника $ABC$, где $AB < AC$, в 7 раз больше длины $BC$. Вписанная окружность треугольника касается стороны $BC$ в точке $E$, и диаметр $DE$ этой окружности пересекает медиану из вершины $A$ в точке $F$. Найдите отношение $DE:DF$.

Комментарий/решение

Если $AB<AC$ и $AB+AC=6BC$ то $\angle B > 90^{\circ}$ , проведем высоту $AH$ из точки $A$ на сторону $BC$ , так как $DE \perp BC$ получим что $DE || AH$ , из подобия треугольников $MEF, MAH$ получим $\dfrac{FE}{AH} = \dfrac{ME}{MH} $ , докажем что $\dfrac{ME}{MH} = \dfrac{1}{6}$ , преобразовав получим $\dfrac{BE+BH}{ME}=5$ , положим что $N$ точка касания окружности со стороной $AC$ , получим что $AN=\dfrac{5BC}{2}$ , тогда $EM=AC-3BC$ , тогда $BE = \dfrac{BC}{2}-EM = \dfrac{7BC-2AC}{2}$ , тогда $BH=-AB*cos \angle B$ , тогда получим соотношение которое надо доказать $3BC-AB = \dfrac{BC-2AB \cdot cos \angle B}{12}$ , откуда $cos \angle B = \dfrac{12AB-35BC}{2AB}$ , которая следует из теоремы косинусов .

Найдем соотношение $ \dfrac{FE}{r}$ , так как $FE=\dfrac{AH}{6}$ , с одной стороны $S_{ABC} = \dfrac{BC \cdot AH}{2}$ , но с другой $S_{ABC} = p \cdot r = \dfrac{7BC}{2} \cdot r$ , то есть $\dfrac{FE}{r}=\dfrac{7}{6} $ или $\dfrac{FE}{DE}=\dfrac{7}{12}$ , значит $\dfrac{DE}{DF}=\dfrac{12}{5}$.