Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2022 год

В треугольнике $ABC$ $\angle B = 90^\circ$. На прямой $CB$ выбрали точку $D$ так, что $B$ лежит между точками $D$ и $C$. Пусть $E$ — середина отрезка $AD$ и $F$ — вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $ACD$ и $BDE$. Докажите, что все такие прямые $EF$ проходят через фиксированную точку, независимо от выбора точки $D$.

Комментарий/решение

Пусть $FE \cap BC =L$ и $FE \cap (ABC)=X$ Тогда в силу того что $FDEB$ и $FDXC$ - вписанные получаем: $\angle LEB= \angle LDF = \angle LXC$ значит $EB \parallel XC$ Заметим что $\angle EDB = \angle EBD = \angle XCD$ значит $ADCX$ равнобокая трапеция, отсюда: $XC=AD=EB/2$  значит $EB$ средняя линия треугольника $\triangle LXC$ значит $LB=BC$ значит $L$ симметрична точке $C$ относительно $B$ и все такие прямые $EF$ проходят через эту точку значит $L$ и есть фиксированная точка