Областная олимпиада по математике, 2004 год, 9 класс

Найдите целую часть числа $\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + \frac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 6 }} + \dots + \frac{1}{{\sqrt {2003} + \sqrt {2004} }}.$

Комментарий/решение

Пусть $S_1=$данная сумма, $S_2=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{2002}+\sqrt{2003}}$, тогда $S_1+S_2=\sqrt{2004}-1,$ также $S_1>S_2, \Rightarrow 2S_1>\sqrt{2004}-1$, но в то же время $S_1<S_2+1, \Rightarrow 2S_1<\sqrt{2004}$, то есть $$S_1>21,$$ $$S_1<22,383$$ $\Rightarrow$ целая часть от $S_1=22$

$Ответ:22$

Сумма не равна $\sqrt{2004}-1$

Она равна:

$\sqrt{2004}-\sqrt{2003}+\sqrt{2002}-\sqrt{2001}+...+\sqrt{2}-1$

аа, точно, спасибо, исправил!

А почему если $21<S_{1}<22,8$, то целая часть $S_{1}$ равно $22$? Оно же может равняться $21$.

А для этого нужно доказать что $S_{1}>22$

тупанул что-то