Областная олимпиада по математике, 2022 год, 9 класс

Пусть $p$ — простое число, дающее остаток 1 при делении на 4. Найти все такие натуральные числа $a$, $b$ и $c$, которые одновременно удовлетворяют условиям
   a) наибольший общий делитель чисел $a$, $b$ и $c$ равен $1$;
   b) $ab$ не делится на $p$;
   c) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{cp} = \frac{4}{p}.$ ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

$(a,b,c)=1$ $-\ngtr $ $(a,b), (b,c), (a,c)=1$

я так же подумал и совершил ошибку на области)

пример: $(4,6,11)=1$

АДМИН, сделай уже функцию удаления комментариев!

$a=dx,b=dy,(x,y)=1$

Үшінші берілген теңдікті $abcp$-ға көбейтейікте, $d$-ға бөліп жіберейік: $$dycp+dxcp+d^2xy=4d^2xyc$$ $$\rightarrow ycp+xcp+dxy=4dxyc\rightarrow dxy(4c-1)=cp(x+y)$$

Ал енді қарасақ, $xy$ $p$ мен $x+y$ бөлінбейді, сонда $c$ $\vdots$ $xy$, ал $c,$ ($4c-1$)-ге бөлінбейді ($c=1$ болса, $3dxy=p(x+y)$ ге келеміз, сонда $3$ $\vdots$ $p$, ондай мүмкін емес) және $(c,d)=1$, солай $xy$ $\vdots$ $c.$ Сонымен $xy=c$ екенін түсіндік, онда соны қолдансақ: $$d(4xy-1)=p(x+y)$$

$4xy-1$ $\vdots$ $p$ екені анық, $4xy-1 \equiv 3(mod$ $4)$, сол үшін $\exists q\equiv 3(mod$ $4),4xy-1$ $\vdots$ $q.$. Және де $x+y$ $\vdots$ $q$, онда $x \equiv -y(mod$ $q)$ және $(2y)^2+1$ $\vdots$ $q$ (ал бұл Жерар теоремасы бойынша мүмкін емес).

Жауабы: Ондай сандар жоқ.

В какой книге вы узнали о теореме Жерара?

Мне на уроке наш выпускник лицея объяснил, он по сути объяснил про две теоремы $p=3k+2,p=4k+3$, потом мне в комментариях подсказали что это Теорема Жерара

Мне тоже стало интересно - что это еще за теорема Жерара? Я впервые услышал о таком и не понимал, неужели эту задачу можно решить только с помощью столь малоизвестной теоремы? Это что, заговор составителей из била против остальных школ? Они специально делают такие задачи и такие малоизвестные теоремы преподают только в своих школах? Я был бы готов в это поверить учитывая то, насколько для этой системы школ важен успех на олимпиадах. Но, к счастью, всё оказалось намного проще.

В гугле ноль результатов по запросу теорема Жерара и на русском, и на английском, его не оказалось ни в задачнике Прасолова, ни даже в Алфутовой. Его нет даже в справочных материалов в книге с задачами и решениями областного этапа, ни даже в книге по АТМО и МОШП. Потом я решил искать не по названию теоремы, а по его утверждению. Оказалось это самая обыкновенная, наверное, даже самая базовая задача с использованием МТФ. Она гласит - "Если $x^2+1$ делится на нечетное простое $p$, то $p=4k+1$" (см. https://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=60752, советую ознакомиться). То есть здесь, в этом решении, вышло бы, что $q=4k+1$ хотя это не так.

Эта задача есть в сборнике олимпиадных задач Горбачева (13.116) в разделе про теорему Ферма и Эйлера, в Алфутовой (4.142), в Прасолове есть более обобщенная версия (31.2) - вторая задача сразу после непосредственно доказательства МТФ.

Если же говорить о задаче, как до этого можно было додуматься, то, как мне кажется, трудно было бы заранее не зная об этом факте, МТФ, додуматься, что $q\:|\:4y^2+1$ ведет к противоречию. Видимо составитель предполагал, что школьник знаком с МТФ и ему довелось, в качестве упражнения в книге по которой он это изучал, доказать "Теорему Жерара" так, что он даже если и может позабыл, но сможет быстро восстановить все это в памяти и я с этим полностью согласен.

Вот такое у меня вышло расследование. Человек который в комментариях к мопсичку написал, что это теорема Жерара - заблуждается.

Мопсичку спасибо за решение, иначе я бы наверное никогда бы не догадался до идеи о том, что число вида $4k+3$ должно делиться на какое-то простое вида $4n+3$, а до МТФ в конце тем более (я безуспешно решал эту задачу последние несколько дней). Надеюсь мой комментарий сделал более ясным все решение и я помогу кому-то с подготовкой к области.

конспирологический бред вы конечно вначале подумали, pokpokben (чел который мне ответил) сам из НИШа)

я вообще вначале думал что это лемма что если $a^2+b^2$ делится на $p=4k+3$ то они по отдельности делятся на $p$, а мне потом он подсказал что это Теорема Жерара

кстати, как не странно автор задачи выпускник моего лицея, 10 или 15 лет тому назад (но я никогда не слышал о нем и он нам никогда не преподавал)

На самом деле это довольно-таки известная вещь, которая обязательно проходится, если вы изучали квадратичные вычеты. Теорему Жерара также говорят "теорема Жирара", наверное, из-за этого ничего и не нашли

Да, действительно, я немного ошибся. Спасибо что подсказали

Мопсичек, керемет! Қазақша жазуды бастапсын ғой)

Ал, sovetov.m-ның бір әріпте қате жіберіп, сол үшін конспирология жасап, бұл туралы ізденгені - қызық көрініс

қатені мен жасадым ғой

Қиындатып жібердім деп ойламайсыз ба?

Эх бала)

Если кого-то немного сбивает с толку, что $(a,\,b,\,c)=1$ на самом деле не обязательно влечет $(a,\,b)=1,\,(b,\,c)=1,\,(a,\,c)=1$ то это можно представить себе так. Представьте каждое число как мультимножество его простых делителей. Мультимножество это то же самое множество, но у которого элементы могут повторяться. К примеру, $6=\{2,\,3\},\,100=\{2,2,5,5\}, 13=\{13\}$, а единица это пустое множество. Тогда у нас выйдет, что, например, $a\,|\,b \Leftrightarrow A\subset B$ или $(a,\,b)=1\Leftrightarrow A\cap B=\varnothing$ и т.д. Множества же хороши тем, что их можно представить в виде диаграмм Эйлера-Венна. Конкретно здесь $(a,\,b,\,c)=1$ можно представить как диаграмму из 3 множеств $A, B, C$ которые не имеют общего пересечения. Понятно, что если все три сразу где-то не пересекаются, то это не значит, что каждая пара множеств не пересекается.

Я нашел это в книге Modern Olympiad Number Theory от Aditya Khurmi, пункт Looking at Numbers as Multisets.

қызық екен!

решаю без теормеы Жерара я понял что если $(a,b,c)=1$ то это не означает $(a,b)=1,(b,c)=1,(c,a)=1$ пример $(6,10,15)=1$

заметим что если $ab$ не делится на $p$ то $a$,$b$ не делитя на $p$ тогда это выражение можно переписать в виде $bcp+acp=ab(4c-1)$ тогда $4c-1=p,4c-1=cp,4c-1=cp(a+b)$ три случая разберем третий тогда $a,b=1$ подставляя $1+1+\dfrac {1}{cp}>$$\dfrac{4}{4k+1}$ где $k\geq 1$ этоо вариант неправилен тогда разберем $2$ вариант заметим что $4c-1=cp$ где $p=4k+1$ тогда $4c-1=cp$ правое делится на $c$ левое нет если $c>1$ пусть тогда $c=1$ тогда $p=3$ а по условии $p \equiv 1 \pmod {4}$ разбираем первый вариант тогда $bc+ca=ab$ где $4c-1=4k+1$$\Rightarrow$$4c=4k+2$противоречие по мод $4$ противоречие